De quinque corporibus regularibus, também chamado de Libellus de quinque corporibus regularibus, é um livro sobre a geometria de poliedros escrito por volta da década de 1480 e início da década de 1490 pelo pintor e matemático italiano Piero della Francesca. O manuscrito é escrito em latim, constituindo um dos três livros conhecidos elaborados por Francesca. Junto dos sólidos de Platão, De quinque corporibus regularibus inclui a descrição de cinco dos treze sólidos de Arquimedes, além de diversos outros poliedros de aplicações na arquitetura. O manuscrito foi o primeiro livro que conecta a matemática a arte por intermédio da construção e de desenhos em perspectiva de poliedros, incluindo o livro de Luca Pacioli de 1509 Divina proportione, que incorporou, sem creditar, uma tradução em italiano do trabalho de della Francesca. Perdido por muitos anos, De quinque corporibus regularibus foi redescoberto no século XIX na Biblioteca Apostólica Vaticana e a cópia vaticana foi republicada em fac-símile.

Contexto

Os cinco sólidos de Platão — tetraedro regular, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro — eram conhecidos por della Francesca a partir de duas fontes clássicas: Timeu, em que Platão teoriza que quatro desses sólidos correspondem aos elementos clássicos do mundo e o dodecaedro corresponderia aos céus; e Os Elementos de Euclides, no qual os sólidos de Platão são construídos como objetos matemáticos. Dois livros apócrifos de Os Elementos que tratam sobre as propriedades dos sólidos de Platão, livros chamados de pseudo-Euclides por vezes, eram comumente considerados parte de Os Elementos no tempo de Francesca. Os Elementos foi a inspiração principal para della Francesca, mais que Timaeus. Os treze sólidos de Arquimedes, poliedros convexos cujos vértices, mas não as faces, são simétricos em relação ao outro, foram classificados por Arquimedes em um livro que foi perdido. A classificação de Arquimedes foi posteriormente descrita por Papo de Alexandria em termos de quantas faces cada polígono apresentava. Della Francesca havia estudado e copiado trabalhos de Arquimedes, e incluiu citações do grego em De quinque corporibus regularibus. Apesar de descrever seis dos sólidos de Arquimedes em seus livros, cinco em De quinque corporibus regularibus, autores consideram que isso foi uma redescoberta independente. Francesca não oferece créditos ao matemático grego pelas formas e não há evidências que ele sabia sobre o trabalho de Arquimedes neles. De forma similar, apesar de que ambos apresentarem fórmulas para o volume da abóbada de claustro, seus trabalhos parecem ser independentes, uma vez que a fórmula do grego só foi descoberta no início do século XX. De quinque corporibus regularibus é um dos três livros conhecidos escritos por della Francesca. Os outros dois, De prospectiva pingendi e Trattato d'abaco, concentram-se no desenho em perspectiva, sobretudo escrito por Leon Battista Alberti em De Pictura, e na aritmética do livro de Leonardo Fibonacci Liber Abaci, respectivamente. O seu outro livro de matemática, Trattato d'abaco, ensinava aritmética, contagem e cálculo geométrico básico através de diversos exercícios práticos, destacando o trabalho de Fibonacci. Apesar das partes iniciais de De quinque corporibus regularibus apresentar referências a Liber Abaci e a Trattato d'abaco, Fibonacci aplicava previamente os métodos de cálculo apenas na geometria em duas dimensões, ao passo que as últimas partes de De quinque corporibus regularibus são mais originais quanto a aplicação da aritmética na geometria de formas tridimensionais.

Conteúdo

Após a dedicatória, a página com o título de De quinque corporibus regularibus apresenta Petri pictoris Burgensis De quinque corporibus regularibus. As primeiras três palavras significam "De Peter, o pintor de Borgo" e se referem ao autor do livro Piero della Francesca, de Borgo Santo Sepolcro. O primeiro dos quatro livros apresenta problemas na geometria plana, concentrando-se nas medidas de polígonos, sobretudo no cálculo de área, perímetro e tamanho. A segunda parte se concentra nas esferas circunscritas dos sólidos de Platão e estuda as larguras, áreas e volumes desses sólidos em relação às medidas da esfera circunscrita. Essa parte também inclui a derivação da altura de um tetraedro irregular, dado por seus comprimentos laterais, o que é equivalente ao teorema de Herão. A terceira parte inclui exercícios complementares sobre esferas circunscritas e apresenta duplas de sólidos de Platão inscritos um no outro, focando novamente nas medidas relativas. Essa parte se inspira diretamente pelo 15.o livro de Os Elementos, que construiu determinados pares de figuras poliédricas inscritas umas nas outras, como como um tetraedro regular inscrito no cubo, compartilhando seus quatro vértices com o cubo. De quinque corporibus regularibus busca aproximar essas construções com a aritmética, tornando possível, assim, o cálculo de medidas de um poliedro dadas as medidas de outro.

O quarto e último livro se concentra em outras formas além dos sólidos de Platão. Essa seção inclui os sólidos de Arquimedes, apresentando o tetraedro truncado — que também aparece em um exercício de Trattato d'abaco — e a truncatura de outros quatro sólidos platônicos. O cuboctaedro, um dos seis sólidos de Platão, é descrito em Trattato, mas não neste livro. Como De quinque corporibus regularibus parece ter sido um trabalho posterior a Trattato, essa omissão parece ter sido deliberada: della Francesca não estava preocupado em listar esses poliedros. Esse quarto livro também inclui formas de domo, como os domos de Panteão, Roma ou da, na época, recém-construída Igreja de Santa Maria presso San Satiro em Milão formado por um anel de triângulos rodeado por anéis com quadriláteros irregulares e outras formas.

Um resultado do trabalho de Francesca é a derivação do volume do sólido de Steinmetz — a interseção de dois cilindros em uma forma de abóbada de claustro — que o autor ilustrou em seu livro sob perspectiva. Apesar das curvas, a forma tem uma fórmula simples, mas não intuitiva, para seu volume: 2/3 do volume do cubo que o envolve. Esse fato era conhecido tanto por Arquimedes, na Grécia, quanto por Tsu Ch'ung Chih, na China, mas della Francesca parece não ter consciência desses estudos anteriores. Os trabalhos de Arquimedes foram perdidos e encontrados somente em 1901, enquanto o conhecimento chinês foi disseminado para o Ocidente a partir do século XVII, com as missões jesuíticas na China. De quinque corporibus regularibus é ilustrado sob diversos estilos por della Francesca, nem todos sob uma perspectiva matemática correta.

Disseminação Della Francesca dedica o trabalho a Guidobaldo I de Montefeltro, do Ducado de Urbino. Apesar do livro não apresentar dadas, a dedicatória aponta que a data da finalização do livro está entre 1482, quando Guidobaldo, aos 10 anos de idade, torna-se duque, até 1492, quando ele morre. Contudo, della Francesca provavelmente escreveu o livro originalmente em italiano, antes dele traduzir para o latim sozinho ou com a assistência de seu amigo, Matteo dal Borgo, então o rascunho original do trabalho pode ter sido escrito antes mesmo da ascensão de Guidobaldo ao ducado. O livro foi adicionado à biblioteca do duque, reunindo-se ao livro de perspectiva De prospectiva pingendi, que Francesca havia dedicado ao duque anterior. No "provável primeiro grande caso de plágio na história da matemática", Luca Pacioli copiou exercícios de Trattato d'abaco em seu livro Summa de arithmetica de 1494 e, em seu livro de 1509 Divina proportione, incorporou uma tradução completa do livro De quinque corporibus regularibus para o italiano, sem creditar della Francesca ou qualquer trabalho dele. É a partir de Pacioli que o trabalho de della Francesca se tornou mais conhecido. Apesar de Giorgio Vasari ter denunciado Pacioli por plágio em seu livro Le vite de' più eccellenti pittori, scultori e architettori de 1568, ele não apresentou provas o suficiente para validar e sustentar sua denúncia. O trabalho original de della Francesca foi perdido em 1851 e de novo em 1880, sendo redescoberto na coleção da Biblioteca Apostólica Vaticana pelo antiquário escocês James Dennistoun e pelo historiador da arte alemão Max Jordan, respectivamente, o que pode sustentar as denúncias de Vasari. Trabalhos subsequentes que visam o estudo de sólidos regulares e suas perspectivas baseiam-se frequentemente no trabalho de della Francesca e em sua transmissão por Pacioli. Por exemplo, o livro Underweysung der Messung de Albrecht Dürer publicado em 1525 foca nas técnicas do desenho em perspectiva tanto para poliedros regulares e irregulares, quanto para a construção de modelos físicos, e Perspectiva corporum regularium de Wenzel Jamnitzer de 1568, que apresenta figuras de diversos poliedros derivados de poliedros regulares, mas não os analisa matematicamente. Apesar de um livro com o mesmo título aparecer em registros no século XVI na biblioteca particular de John Dee, a cópia do Vaticano de De quinque corporibus regularibus é a única cópia existente conhecida. Um catálogo do Vaticano em 1895 lista a obra entre volumes de obras de Euclides e Arquimedes. Reproduções da obra de della Francesca foram publicadas pela Accademia dei Lincei em 1916 e por Giunti em 1995.

Referências